Nach Abschluss seines Studiums an der Hochschule für Musik in Würzburg, wo er zunächst bei seinem Vater Prof. Walter Daum und später bei Prof. Martin Göß studierte, setzte Norbert Daum seine künstlerische Ausbildung an der Hochschule für Musik und Theater in München bei Prof. Michael Stern fort.
Bereits während dieser Zeit war er in der Spielzeit 1978/ 79 Soloposaunist des Mainfrankentheaters Würzburg, bevor er die Berufung an das Hermann-Zilcher-Konservatorium erhielt und zum damals jüngsten hauptamtlichen Dozenten für Posaune  Deutschlands ernannt wurde.

Ab 1988 hatte Norbert Daum zunächst parallel einen Lehrauftrag an der HfM Würzburg inne, seit 2001 lehrt er ausschließlich und hauptberuflich an der Würzburger Musikhochschule.
Zu seinen vielfältigen Aufgaben an der Hochschule für Musik Würzburg zählt neben künstlerischem Hauptfachunterricht die Ausbildung von Instrumentalpädagogen im Studiengang Bachelor künstlerisch-pädagogisch. In dieser Funktion leitet er seit vielen Jahren das Hauptfachseminar der Blechbläser und ist so innerhalb dieser Fachgruppe fächerübergreifend für die Fachdidaktik und die Unterrichtspraxis des künstlerischen Kernfachs zuständig.
Darüber hinaus leitet Norbert Daum seit 2001 HfM-Brass, das hauseigene Große Blechbläserensemble der HfM Würzburg. Dieses Ensemble setzt sich zusammen aus Studierenden verschiedener Studiengänge, vom Bachelor, Master bis hin zur Schulmusik und tritt in diversen  Konzertreihen auf.

Seit 2007 ist er künstlerischer Projektleiter der Jungen Philharmonie Würzburg, einem Jugendsinfonieorchester, das sich seitdem auch überregional zu einer festen musikalischen Größe entwickelt hat.
Bereits 1998 gründete Norbert Daum seinen eigenen Verlag „crescendo-brass“, in dem er Noten speziell für Blechbläser editiert – in einer Bandbreite, die von Betreuung alter bis hin zu zeitgenössischer Musik in variablen Besetzungen reicht. Ein besonderes Anliegen sind ihm Editionen für den instrumentalpädagogischen Bereich.